Фамилия Акафьев произошла от имени Акафий — народной, упрощённой формы крестильного мужского имени Агафон. В церковных святцах имя Агафон (от греческого агатос — «добрый», «хороший») встречается нередко, однако в бытовой речи его переделали на свой лад, заменив непривычное сочетание звуков на более привычное «Акафий». По той же модели появились фамилии Акафьев, Акаев, Акатов.

Разбираем словообразовательную цепочку. Основа — Акаф-, к ней добавлен типичный русский суффикс -ев, указывающий на принадлежность: «чей?» — Акафьев, то есть сын или потомок Акафия. Суффикс -ев, а не -ов, объясняется тем, что основа заканчивается на мягкий согласный «фь». Такая модель образования — одна из самых распространённых в русской антропонимии, особенно среди крестьян и посадских людей XVI–XVII веков.

Есть и другая, менее вероятная версия: фамилию могли связать с церковным термином «акафист» — хвалебным песнопением. В этом случае прозвище Акафий получил бы певчий или человек, любивший петь акафисты. Однако большинство ономастов (в частности, Б. Унбегаун в «Русских фамилиях») склоняются к первому объяснению: имя Акафий — это народный вариант Агафона, а не производное от названия песнопения.

Географически фамилия Акафьев встречается редко, в основном в центральных и северных областях России. В документах XVII–XVIII веков можно найти упоминания крестьян и однодворцев с такой фамилией, но без привязки к дворянским родам. Это типичная «патронимическая» фамилия, которая не указывает на сословие, а просто называет предка по имени.

Коротко: если вы Акафьев — ваши предки, скорее всего, носили имя Акафий, которое в свою очередь восходит к греческому Агафон, то есть «добрый человек». Фамилия образована по обычной русской модели «имя + -ев» и не содержит скрытых смыслов или редких суффиксов.