Фамилия Акинша — редкий пример, когда прозвище застыло в почти неизменном виде, без типичных фамильных суффиксов -ов, -ин или -ский. По сути, это застывшая форма древнерусского нецерковного имени или прозвища Акинша, которое образовалось от канонического имени Акинф или Акинфий. В свою очередь, Акинфий — это русская народная переработка греческого имени Иакинф (гиацинт). Так что исходный смысл фамилии — «сын Акинши» или просто человек, носивший такое прозвище.

Почему фамилия не получила суффикса? В русской ономастике это случается, если прозвище на -ша воспринималось как уже «притяжательное» или если оно бытовало в среде, где фамилии ещё не устоялись. Сравните с фамилиями Тиша, Гриша, Паша — все они из той же модели, где конечное -ша сокращало полное имя. Однако Акинша встречается реже своих «суффиксальных» родственников: Акинфов, Акинфиев, Акиншин. Последний, кстати, образован по стандартной схеме (Акинша + -ин), а вот Акинша — это либо прозвище, ставшее фамилией напрямую, либо результат усечения документальной формы.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и украинским землям, где были сильны традиции прозвищного именования. В переписных книгах XVII века встречаются крестьяне и посадские люди с именем Акинша — без фамилии, просто по отцу: «Акинша Иванов». Это значит, что предок носителя фамилии, скорее всего, был простым человеком, ремесленником или крестьянином, а не дворянином — дворянские роды обычно оформляли фамилии через -ов/-ев.

Есть и другая, менее вероятная версия: что Акинша — это тюркское имя (ср. татарское Акинша, от «ак» — белый, чистый). Но она слабая, поскольку на Руси имя Акинфий было широко распространено именно в православной среде, и уменьшительная форма Акинша органично выводится из славянской языковой традиции. Так что искать тюркские корни здесь нет серьёзных оснований.