Фамилия Аксенико — украинская по происхождению, и её разбор это подтверждает. В основе лежит народная форма крестильного имени Авксентий — Аксён. Само имя Авксентий греческое, от «ауксанó» — «расти, умножать», то есть «растущий» или «приумножающий». Суффикс -енко — один из самых распространённых в украинской ономастике, он указывает на происхождение по отцу: «чей сын?» — сын Аксёна. Так что Аксенико буквально значит «потомок Аксёна».

Фамилии на -енко массово закреплялись в украинских землях в XVI–XVII веках, сначала среди казачества и крестьянства. В отличие от великорусских фамилий на -ов/-ев, которые часто образовывались от полных церковных форм, украинская модель предпочитала живые, обиходные варианты имени. Аксён как раз из таких: в документах XVII–XVIII веков на Левобережной Украине встречаются и сами Аксёны, и их потомки с фамилией Аксененко или Аксенико.

Вариативность написания — Аксененко, Аксенико, Оксененко — объясняется местными говорами: в некоторых регионах «а» после шипящих переходило в «о», а суффикс мог редуцироваться. Редкость формы Аксенико по сравнению с Аксененко объясняется, скорее всего, стяжением: в живой речи окончание -енко могло сокращаться до -ико, особенно в диалектах, где ударение падало на основу. Такая же модель встречается у фамилий Гаврилико, Денисико — все они украинские, но с усечённым суффиксом.

Географически фамилия Аксенико тяготеет к центральным и восточным областям Украины, особенно к Полтавщине и Черниговщине, где фамилии на -енко особенно плотны. Встречается она и в южных регионах России, куда переселялись украинские крестьяне и казаки. Примечательно, что в русской среде эту фамилию иногда записывали как Аксененков — с добавлением русского патронимического суффикса, что выдаёт попытку адаптировать украинскую форму к местной традиции.

Если ваши предки носили именно Аксенико, это может указывать на конкретную локальную традицию или даже на запись фамилии «на слух» при переписи.