Фамилия Акулинкин — редкий случай, когда в основе лежит женское имя, а суффикс нестандартный. Если коротко: ваш предок был сыном женщины по имени Акулина, но фамилию образовали не напрямую (Акулинин), а через двойную притяжательную форму — от ласкательного варианта Акулинка.

Разберём цепочку. Имя Акулина — это народный вариант канонического Акилина, которое восходит к латинскому aquila — «орёл». В русской традиции фамилии на -ин обычно образовывались от имён и прозвищ, оканчивающихся на -а/-я: Акулина → Акулинин. Но здесь мы видим суффикс -кин. Это усечённый вариант: сначала от имени Акулина образовали краткую форму Акулинка (с уменьшительным суффиксом -к-), а затем уже от неё — фамилию Акулинкин. То есть «чей?» — «Акулинкин», то есть «сын Акулинки». Такая модель встречается реже прямого Акулинин и указывает на то, что в быту женщину могли называть именно Акулинка, особенно в северных и центральных говорах.

Географически фамилия тяготеет к регионам, где имя Акулина было особенно популярно в XVII–XIX веках — это, в первую очередь, Вологодская, Архангельская, Костромская и Вятская губернии. Там же встречаются и однокоренные фамилии: Акулинин, Акуличев, Акульшин. Разница между ними — в способе образования: Акуличев происходит от отчества Акулич (сын Акули), Акульшин — от краткой формы Акуля.

С социальной точки зрения носители фамилии Акулинкин почти наверняка принадлежали к крестьянскому или мещанскому сословию. В среде дворянства и духовенства такие «двойные» уменьшительные формы почти не встречались, там предпочитали более книжные варианты вроде Акилинский. Так что ваш предок был, скорее всего, простым человеком, которого в деревне знали как «Акулинкин сын» — и эта бытовая привязка закрепилась в официальной фамилии после отмены крепостного права, когда крестьянам массово давали фамилии по имени матери или отца.

Обратите внимание на редкость модели: суффикс -кин в русских фамилиях встречается заметно реже, чем -ин или -ов. Обычно он появлялся, когда основа оканчивалась на -к (например, Федька → Федькин). Здесь же -к- является частью уменьшительного суффикса, а не корня, что делает Акулинкин примером более сложной словообразовательной конструкции. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) такие случаи описываются как «фамилии от уменьшительных форм женских имён» и считаются характерными для северорусской традиции, где женские прозвища чаще становились основой для фамилий.