Фамилия Амири чаще всего ведёт род из двух регионов — Северного Кавказа и Ирана. На Кавказе её носители — в основном осетины и ингуши, в Иране и Афганистане — персы и пуштуны. При этом корень у фамилии общий: арабское имя Амир, что значит «повелитель», «князь», «правитель». В арабском мире слово «амир» стало титулом военачальника или наместника, а впоследствии — личным именем.

Русское окончание -и в фамилии Амири — нетипичный для славянских языков суффикс. В осетинском и ингушском языках -и — это патронимический показатель, то есть указание на принадлежность к роду. Фамилия Амири буквально означает «из рода Амира», «потомок Амира». У осетин такие фамилии на -и (Битиев → Бити, Дзагоев → Дзаги) встречаются как раз в диалектах, где усекается русский суффикс -ев/-ов. В иранском варианте окончание -и может быть суффиксом относительного прилагательного: «амири» — «относящийся к Амиру», «амирский».

По сословной принадлежности предки Амири могли быть разными. На Кавказе — скорее всего, свободные общинники или уздени, носившие имя-прозвище Амир как знак уважения. В Персии и Афганистане — потомки военных или местных правителей, потому что титул «амир» там был широко распространён среди знати. Встречается фамилия и у таджиков: в Таджикистане Амири — одна из фамилий, образованных от арабского имени, причём часто без изменений.

Спорных версий у фамилии немного. Иногда её пытаются связать с тюркским «эмир» (тот же корень), но это скорее параллельная форма, а не отдельная этимология. Правдоподобнее всего — арабское происхождение через кавказское или иранское посредничество. В русских документах XIX века фамилия встречается редко, потому что её носители жили в основном в горных районах и не попадали в массовые переписи.