Фамилия Амиршаев происходит от личного имени Амиршай, которое является вариантом составного тюрко-персидского имени Амиршах. В основе лежат два компонента: арабское «амир» (предводитель, повелитель) и персидское «шах» (монарх, владыка). Получается, что имя Амиршай буквально значило «повелитель-шах» или «князь-царь» — титульное, статусное имя, которое могли дать в знак уважения или с пожеланием ребёнку высокого положения.

Модель образования фамилии проста и типична для русского и тюрко-русского пограничья: к основе Амиршай добавили фамильный суффикс -ев, который присоединяется к основам, оканчивающимся на гласный или мягкий согласный. Форма Амиршаев означает «потомок Амиршая». Встречаются и родственные фамилии — Амиршахов, Амиршахян, Амиршаев, — но наша форма, с усечением конечного «х» в имени, встречается в основном среди татар, башкир и народов Северного Кавказа.

Слово «шах» в составе имени указывает на древнюю иранскую и тюркскую традицию: в Делийском султанате и на Ближнем Востоке этим титулом обозначали верховного правителя. Имя Амиршай, таким образом, несло двойную «властную» нагрузку, что было характерно для составных имён в мусульманских культурах — усиление одного титула другим.

В быту имя Амиршай могло сокращаться до Амир или Шай, и от этих сокращённых форм тоже возникали фамилии (Амиров, Шаев, Шайев). Но Амиршаев сохранило полную исходную основу, что делает его более прозрачным для этимологического анализа.

С точки зрения социального происхождения, носители фамилии Амиршаев чаще всего относятся к потомкам служилых татар, башкирских старшин или кумыкских узденей — тех слоёв, где было принято давать детям имена с «титульным» значением. В архивных записях XIX века фамилия встречается в Оренбургской, Уфимской и Казанской губерниях, а также среди горских народов Дагестана.

Сегодня фамилия нередкая, но не массовая: её носители живут в Татарстане, Башкортостане, Чечне, Дагестане, а также в диаспорах Средней Азии. Если ваша фамилия Амиршаев, то с большой вероятностью предок носил имя, которое в буквальном смысле звучало как «владыка» — и это имя перешло в родовое прозвание.