Фамилия Амиршаевы построена по типичной для русских фамилий модели: к основе, в данном случае восточному имени Амиршай, добавили русский патронимический суффикс -ев (фонетический вариант -ов после мягкого согласного). В буквальном смысле фамилия означает «потомок Амиршая», то есть сын или внук человека с таким именем.

Имя Амиршай — это сокращенный или народный вариант составного арабо-персидского имени Амиршах. Первая часть, Амир, с арабского переводится как «повелитель», «предводитель», «князь»; в исламской традиции это слово входит в состав многих имен и титулов. Вторая часть, шах, восходит к древнеперсидскому титулу монарха, который был распространен в государствах Ближнего и Среднего Востока, а также в Делийском султанате. Сложив две основы, имя Амиршах можно истолковать как «повелитель-шах» или «владыка».

В бытовой речи и в документах XVIII–XIX веков такие длинные составные имена нередко усекались до более простых форм — так Амиршах легко мог превратиться в Амиршая. Именно этот обиходный вариант и закрепился в основе фамилии. Фамилия Амиршаевы — не единственная в своем роде: по той же модели образованы родственные Амиршаховы, Амиршаевы и просто Амировы, которые восходят к тому же корню «амир».

Точную географию и дату появления фамилии Амиршаевы установить сложно: процесс русификации восточных имен шел неравномерно в разных регионах. Однако, судя по структуре, фамилия могла оформиться у татар, башкир, азербайджанцев или народов Кавказа, контактировавших с русской административной системой в XIX — начале XX века, когда фамилии активно записывали по русским образцам. Окончательный ответ о месте и времени возникновения каждой конкретной ветви Амиршаевых могут дать только архивные генеалогические изыскания.