Фамилия Амушов — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Её основа — «Амуш» — не встречается в современном русском языке как самостоятельное слово, поэтому разбирать фамилию нужно через модели тюркских и кавказских имён, а также через возможные диалектные прозвища.

Словообразовательно фамилия проста: суффикс -ов указывает на принадлежность (чей? — Амушов), то есть «сын Амуша» или «потомок Амуша». Вопрос упирается в личное имя или прозвище Амуш. Здесь есть две основные версии.

Первая и наиболее вероятная — тюркская. В тюркских языках (татарском, башкирском, кумыкском, карачаево-балкарском) имя Амуш может быть вариантом имени Амур, которое восходит к арабскому «амур» — «жизнь», «живущий». Или же это форма от «ама» — «желание», «цель», с уменьшительно-ласкательным суффиксом -уш. В таком случае Амуш — это ласкательное обращение к ребёнку, что-то вроде «желанный», «милый». Фамилии на -ов от тюркских имён — обычное дело в Поволжье, на Урале и в северокавказских регионах, где русская административная система требовала русификации фамилий.

Вторая версия — прозвищная. В русских говорах слово «амуш» не зафиксировано, но можно вспомнить диалектное «амур» или «амурный» — в ряде областей так называли влюбчивого, ласкового человека или, наоборот, того, кто любит прихорашиваться. Однако эта версия слабее: фамилия крайне редка для исконно русских территорий, и её география указывает скорее на юго-восток.

Есть и третий, более экзотический вариант: связь с цыганским именем Амуш (от цыганского «амуш» — «друг», «товарищ»). Цыганские фамилии часто оканчивались на -ов после оседания и получения паспортов, но для подтверждения этой версии нужны конкретные генеалогические данные.

Что касается географии: фамилия Амушов встречается в основном в Дагестане, Чечне, Ставропольском крае и среди татар. Это говорит о том, что носители — потомки тюркских или кавказских народов, чьи предки получили фамилию по отцу. Сословно это могли быть крестьяне, казаки или горцы, перешедшие в русское подданство.

Итог: скорее всего, ваш предок носил тюркское имя Амуш, означавшее «желанный» или «живущий», и фамилия закрепилась за его детьми в XIX веке при оформлении документов.