Фамилия Анапеев редкая, и её происхождение не лежит на поверхности, но словообразовательная модель даёт ключ. Суффикс -ев указывает на принадлежность («чей?»), а значит, в основе лежало личное имя или прозвище Анапей. Первое, что приходит в голову — связь с черноморским курортом Анапа, но это ложная ассоциация: топонимические фамилии обычно образуются иначе, с суффиксом -ский.

Самая вероятная версия ведёт в тюркские языки. В них «ана» — мать, а суффикс -пей в ономастике мог быть частью сложносоставного имени, обозначающего уважение или старшинство (сравните Анапай — «почтенная мать» или «мать-госпожа»). Такие имена-пожелания давали детям в татарских, башкирских или ногайских семьях. Со временем имя Анапай (или Анапей) русифицировалось и оформилось в фамилию Анапеев. Это логично вписывается в модель, описанную в работах Б. Унбегауна: множество русских фамилий тюркского происхождения образованы именно по схеме «тюркское имя + русский патронимический суффикс».

Менее распространённая версия отталкивается от греческого «анапавсис» (отдых, покой) — якобы так могли прозвать спокойного, медлительного человека. Но эта гипотеза слабее: прозвища от греческих абстрактных понятий в русской среде — большая редкость, а тюркская модель образования фамилий на юге России и в Поволжье — массовое явление.

Географически фамилия встречается разрозненно, но чаще всего носители живут в Оренбургской области, Башкортостане, Татарстане. Это косвенно подтверждает восточное происхождение. В дореволюционных списках фамилия почти не фиксируется — значит, закрепилась поздно, вероятно, уже в XIX веке, когда крестьяне и мещане массово получали фамилии по имени отца. Так что предки современных Анапеевых, скорее всего, носили имя Анапей, данное по материнской линии или как почтительное прозвище, и жили в среде, где тюркские языки соседствовали с русским.