Фамилия Анашкова — женская форма фамилии Анашков. В её основе лежит имя или прозвище Анашко, а сама фамилия образована по стандартной русской модели с суффиксом -ов- и окончанием -а: Анашко → Анашков → Анашкова.

Самая вероятная версия происхождения — от крестильного имени Ананий. С древнееврейского оно переводится как «отмеченный милостью Божией». В святцах известен священномученик Ананий, один из семидесяти апостолов, епископ Дамасский. В обиходе полное имя сокращали: Ананий превращался в Анашу, Анашку. От этой уменьшительной формы и пошла фамилия.

Но есть и другая версия — не церковная, а бытовая. В русских говорах существовало слово «ананья» — так называли льстивого, угодливого человека. Если фамилия произошла от этого прозвища, то она указывала не на имя святого, а на характер предка: льстеца или хитреца.

В документах фамилия встречается нечасто, но стабильно. Например, в Книге памяти Смоленской области записан Анашков Егор Васильевич, 1891 года рождения, уроженец деревни Полуяново Демидовского района. Это указывает на географическую привязку: корни фамилии — в западных областях России, где бытовали диалектные формы имени Ананий.