Фамилия Анашко начинается с того, что её выдаёт суффикс -ко — типичная примета украинских и белорусских фамилий. В восточнославянских языках этот суффикс работал как уменьшительно-ласкательный или указывал на принадлежность к роду («чей-то сын»). В польском похожий суффикс -ко тоже есть, но для фамилий на -шко исследователи чаще видят именно украинский след.

Основа фамилии — личное имя Ананий, его каноническая церковная форма, или разговорный вариант Анаха. Имя Ананий восходит к древнееврейскому Ханания, что значит «Бог явил милость» или «дар Божий». В народной среде имя быстро сокращалось и давало просторечные формы: Ананя, Анаха, Анашка. От такой обиходной формы Анаха с помощью суффикса -шко и сложилась фамилия. Буквально: «маленький Анаха» или «потомок Анахи». Это наиболее прямое и логичное объяснение.

Есть и вторая версия, менее распространённая, которую приводят ономасты, работавшие с западными говорами. В польском и белорусском языках слово «анаха» могло быть прозвищем для неопрятного, неряшливого человека (от глагола «анахаць» — пачкать). Однако для фамилии Анашко эта версия натянута: прозвище с негативным оттенком редко становилось основой для фамилии в форме «чей-то сын» с суффиксом -ко. Первая версия — от имени — гораздо убедительнее.

Что касается социального портрета, носитель фамилии в прошлом — скорее всего, крестьянин или мещанин из центральной Украины или юго-восточной Беларуси. Фамилии на -шко, -енко, -ук в этих регионах фиксировались в реестрах Войска Запорожского и в метрических книгах уже в XVII–XVIII веках. Дворянской эта фамилия не была, её носители не входили в родословные книги. Предки Анашко — простые люди, чьё имя сохранила память рода.

В написании возможен вариант Анажко (через «ж»), если в местном говоре «ш» смягчалось. Но в русской и украинской орфографии закрепилась форма через «ш». Фамилия редкая, но не уникальная: её однокоренные «родственники» — Ананьев, Анашин, Анахов — встречаются намного чаще. Если ищете фамилию в архивах, стоит проверять оба написания, но опираться на привычную форму.