Фамилия Анашков — редкий случай, когда суффикс подсказывает больше, чем корень. В ней нет типичного для русских фамилий суффикса -ов, который обычно присоединяют к основам на твёрдый согласный (Иван — Иванов). Здесь мы видим суффикс -ков, а это значит, что исходная основа заканчивалась на -к или -ко. Фамилию образовали от прозвища или имени Анашко.

Само имя Анашко — это уменьшительная форма от канонического имени Ананий. В святцах Ананий — имя нескольких раннехристианских святых, в том числе одного из апостолов от семидесяти. В русской народной среде оно перешло в разряд редких, но давало несколько обиходных вариантов: Анаха, Анашка, Анаша. Форма Анашко типична для южнорусских и украинских говоров, где суффикс -ко активно использовали для образования имён и прозвищ (Митько, Васько, Грицько). Соответственно, носитель фамилии Анашков — потомок человека, которого в быту звали Анашко.

Есть и другая, менее вероятная версия. В некоторых диалектах слово «анашка» или «анашка» могло означать нечто несуразное, нелепое или относиться к человеку с дурной привычкой. Но эта гипотеза слабая: она не объясняет, почему фамилия закрепилась именно с суффиксом -ков, а не, скажем, -ин (Анашкин). Скорее всего, перед нами именно патроним — фамилия по имени предка.

Географически фамилия Анашков тяготеет к югу России: её фиксируют в Воронежской, Ростовской областях, а также на востоке Украины. Это косвенно подтверждает связь с украинской или южнорусской моделью образования имён на -ко. В XIX веке Анашковы встречались в основном среди крестьян и однодворцев — потомков служилых людей, которые несли сторожевую службу на южных рубежах государства.