Фамилия Аниковская — это женская форма фамилии Аниковский, которая принадлежит к типичной для восточных славян модели на -ский/-ская. Такие фамилии чаще всего указывали на географическое происхождение: либо на название поместья или местечка, откуда был родом основатель фамилии, либо на дворянский статус (в Польше и на западнорусских землях фамилии на -ский были маркером шляхетского происхождения).

В основе фамилии лежит мужское имя Аник (разговорная форма от Иоанникий). Полное имя Иоанникий имеет греческие корни (Ioannikios — «победа» и «Бог»), но в русской народной среде оно сократилось до Аник или Аника. От этого имени через притяжательное прилагательное («чей?» — Аников) и оформилась фамилия. Аниковский — буквально «выходец из владений Аника» или «потомок Аника». Суффикс -ск- в данном случае не столько патронимический (как -ов или -ин), сколько топонимический: он превращает личное имя в название места, а затем — в фамилию.

Вероятнее всего, фамилия Аниковская (и её мужская пара Аниковский) имеет польско-белорусское происхождение. На территории Речи Посполитой фамилии на -ский были распространены среди мелкой шляхты и крестьян, переселявшихся из одного имения в другое. Например, существовали поселения с корнем Аник- (вроде Аниково или Аниковичи) в бывших Витебской, Минской или Смоленской губерниях. Переселенец из такого хутора или деревни получал прозвание Аниковский — «тот, кто из Аникова».

Интересная деталь: фамилия Аниковская встречается гораздо реже, чем мужской вариант Аниковский, что естественно для патронимической системы, где женщины традиционно наследовали фамилию от отца или мужа. Однако в современных документах женская форма закрепилась как самостоятельная, и носительница такой фамилии может с равной вероятностью происходить как из крестьянской среды западных губерний, так и из обедневших дворянских родов — без дополнительных генеалогических изысканий сказать точнее нельзя.