Фамилия Аниковская — женская форма от Аниковский, и её разумнее всего разбирать, начиная с мужского варианта. Модель на -ский/-ская для восточных славян чаще всего указывает на географическое происхождение: название поместья, местечка или хутора, откуда был родом основатель рода. На польских и западнорусских землях такие фамилии нередко служили маркером шляхетского статуса, хотя в равной степени их носили и крестьяне, переселявшиеся из одного имения в другое.

В основе фамилии лежит мужское имя Аник — разговорная, сокращённая форма от полного церковного имени Иоанникий. Греческое Ioannikios сложено из корней со значением «победа» и «Бог», но в русской народной среде оно быстро стянулось до короткого Аник или Аника. От этого имени образовали притяжательное прилагательное Аников («чей?» — сын или человек Аника), а затем, с помощью суффикса -ск-, превратили его в топонимическое прозвание: Аниковский — буквально «выходец из владений Аника» или «тот, кто из Аникова». Суффикс -ск- здесь работает не как патронимический (в отличие от -ов или -ин), а именно как указатель на место.

Вероятнее всего, фамилия Аниковская (и её мужская пара) имеет польско-белорусские корни. На территории бывшей Речи Посполитой — в Витебской, Минской, Смоленской губерниях — существовали и до сих пор встречаются поселения с корнем Аник-: Аниково, Аниковичи. Переселенец из такого хутора или деревни получал прозвание по названию родного места, и суффикс -ский закреплял эту связь.

Отдельного внимания заслуживает редкость женской формы. Аниковская встречается в документатах гораздо реже, чем мужской вариант Аниковский, что естественно для патронимической системы, где женщина традиционно наследовала фамилию от отца или мужа. Однако в современных записях женская форма закрепилась как вполне самостоятельная. Носительница такой фамилии может с равной вероятностью происходить как из крестьянской среды западных губерний, так и из обедневших дворянских родов — без дополнительных генеалогических изысканий сказать точнее нельзя.