Фамилия Анцыборов — одна из тех, чью основу не разгадать с ходу, без обращения к диалектам и старым личным именам. Первое, что бросается в глаза — суффикс -ов, указывающий на типичную русскую патронимическую модель: «чей?» — Анцыборов, то есть сын Анцыбора. Значит, главная загадка — в прозвище или имени Анцыбор.

Здесь у исследователей нет единого мнения, но есть две основные версии, причём одна заметно убедительнее другой. Первая, более вероятная, связывает Анцыбора с западнорусским или белорусским именем Анцыбор, которое представляет собой народную форму крестильного имени Антоний. В белорусских и украинских говорах имя Антон нередко звучало как Анцып, Анцысь, а производное Анцыбор могло возникнуть под влиянием второй части «-бор» (от «бороться», «борец»). То есть Анцыбор — это «Антон-борец», сложносоставное имя, типичное для древнерусской и польской традиции (сравните с именем Самбор, Доброгост). В пользу этой версии говорит распространённость фамилии: Анцыборовы чаще всего встречаются в западных областях России, на границе с Беларусью, а также в Беларуси и Польше.

Вторая, более спорная версия выводит основу от литовского слова «ancỹs» — «утка». Якобы Анцыбор — это человек, похожий на утку или связанный с охотой на уток. Однако эта гипотеза слаба: в литовской антропонимии нет устойчивой модели образования фамилий на -бор от названий птиц, а для славянских земель такое толкование выглядит искусственным. Скорее всего, это народное переосмысление непонятного имени.

Интересна и словообразовательная деталь: суффикс -ов здесь не простой. Фамилия образована не от имени Анцыбор напрямую, а от его краткой или обиходной формы. Полное имя Анцыбор давало бы вариант Анцыборов, но в русской традиции такие имена нередко усекались. Впрочем, в нашем случае Анцыборов — это и есть прямая патронимическая форма, без промежуточного сокращения. Фамилия фиксируется в документах с XVII века. Например, в переписных книгах Смоленщины встречаются посадские люди Анцыборовы — вероятно, потомки того самого Анцыбора, который был либо крестьянином, либо ремесленником. Среди дворянства эта фамилия не отмечена, что указывает на её крестьянское или мещанское происхождение.

Таким образом, если вы Анцыборов, ваши предки, скорее всего, жили на западе России или в Беларуси, а их родоначальника звали Анцыбор — народным вариантом имени Антоний.