Фамилия Апалаева — женская форма, а мужская — Апалаев. В её основе лежит прозвище Апалай. Оно неоднозначно, и у лингвистов есть как минимум два объяснения его происхождения.

Первая версия связывает Апалая с диалектным словом «опалок». В некоторых русских говорах, особенно на севере и в Сибири, так называли ладонь. Слово родственно «опалять» в смысле «обжигать» — видимо, потому что ладонь, как и обожжённая поверхность, краснеет или мозолится. Если так, то прозвище Апалай могли дать человеку с крупными, широкими, мозолистыми руками — то есть работящему, привыкшему к физическому труду.

Вторая версия отталкивается от прямого значения глагола «опалить» — поджечь, обжечь огнём. Тогда прозвище могло закрепиться либо за тем, кто носил на теле заметные следы ожогов, либо за человеком вспыльчивым, «горячим», с крутым нравом. Такие прозвища по характеру в русской традиции не редкость.

Фамилия образована по стандартной модели с суффиксом -ев (в основе на -й). Первоначально это было притяжательное прилагательное: «чей сын?» — Апалаев, то есть сын Апалая. Фамилия встречается преимущественно в южных регионах России и на Северном Кавказе, что может указывать на позднее закрепление фамилии в этих местах в результате миграций.

Какую из двух версий считать основной — вопрос. Первая (от «опалок» = ладонь) кажется более конкретной: прозвище по внешней примете (большие руки) встречается чаще, чем прозвище по случайному событию (ожог). Однако обе имеют право на существование.