Фамилия Апанович восходит к имени Апан (или Апанас) — уменьшительной форме крестильного имени Афанасий. Оно пришло на Русь из греческого языка, где «атанасиа» означало «бессмертие». Такая модель образования — от народной, бытовой версии имени через суффикс -ович — типична для западнорусских и польских земель. Суффикс -ович указывает на родство: буквально «сын Апана» или «потомок Апана».

Апановичи — польский шляхетский род. В отличие от большинства русских фамилий на -ович, которые в XVI–XVII веках закрепились в основном за боярством и дворянством, в Польше и Великом княжестве Литовском этот суффикс был массовым именно среди шляхты. Род Апановичей имел собственный герб «Годзава» (встречаются варианты написания Гадзава, Годзовита). Этот герб известен с начала XIV века: его даже чеканили на монетах — шелягах, грошах, полтораках, третьяках и шостаках.

Описание герба: на красном поле щита изображена двойная лилия — цветы развёрнуты в разные стороны и соединены золотым кольцом. Щит увенчан рыцарским шлемом, над которым возвышается павлиний хвост с такой же лилией, как на щите. «Годзава» принадлежала более чем двумстам шляхетским родам Беларуси, Украины, Литвы и Польши, и Апановичи — один из них.

Таким образом, фамилия Апанович соединяет в себе два пласта: личное имя с древнегреческой основой («бессмертие») и шляхетскую геральдическую традицию. Если ваши предки носили эту фамилию, они, скорее всего, относились к мелкой или средней шляхте западных земель Речи Посполитой, а сам род начался с человека, которого в быту звали Апаном.