Фамилия Апаты — редкий случай в русском ономастиконе. Сразу бросается в глаза нехарактерное для славянских фамилий окончание: в русском языке фамилии на -ы, -их (-ых) встречаются, но чаще в северных и сибирских говорах (например, Седых, Черных), а здесь окончание -аты. Это наводит на мысль, что перед нами не исконно русская, а заимствованная или искусственно оформленная фамилия.

Самая правдоподобная версия — западноукраинское или польское происхождение. В украинском языке существует фамилия Апат (или Апата), а суффикс -ий, -а — обычное окончание для фамилий в Галиции и на Волыни. Основа «апат» восходит к греческому «апате» — обман, коварство. В средневековой Польше и Украине так могли прозвать хитрого, изворотливого человека, либо того, кто промышлял мелким мошенничеством. Прозвище было неодобрительным, но, как часто бывает, закрепилось за потомками.

Вторая версия, менее вероятная, но тоже имеющая право на существование, — связь с церковным термином «аббат» (лат. abbas, через польск. opat). В польском языке «opat» — настоятель монастыря. Однако фонетический переход «опат» в «апат» маловероятен для польского, хотя возможен в украинских говорах с аканьем. Если фамилия и восходит к этому слову, то предок мог быть не монахом, а работником при монастыре или крестьянином, жившим на монастырских землях.

Географически фамилия Апаты встречается в основном на западе Украины (Львовская, Тернопольская области) и в приграничных районах Польши. В России она — большая редкость, её носители, скорее всего, потомки переселенцев из Западной Украины времён Столыпинской аграрной реформы или более поздних миграций XX века.

Словообразовательная модель проста: основа «Апат-» + окончание «-ы», которое в украинском языке часто передаёт множественное число (семья Апатов). То есть буквально «Апаты» — это «род Апатов». В русском паспорте такая фамилия не склоняется (Иван Апаты, у Ивана Апаты), что создаёт путаницу: носитель может считать её русской фамилией на -ых, но на самом деле это украинская фамилия, застывшая в форме родительного или именительного падежа множественного числа.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) «Апаты» не упоминается, что подтверждает её локальный и неповсеместный характер. Если вы носитель этой фамилии, скорее всего, ваши корни — в западноукраинском селе, где предка прозвали за хитрость или за связь с монастырём.