Фамилия Апаты — редкий случай в русском ономастиконе, и её разбор стоит начать с необычного окончания. В русском языке фамилии на -ы, -их (-ых) встречаются, но чаще в северных и сибирских говорах (например, Седых, Черных), а здесь окончание -аты. Это сразу наводит на мысль, что перед нами не исконно русская, а заимствованная или искусственно оформленная фамилия.

Самая правдоподобная версия — западноукраинское или польское происхождение. В украинском языке существует фамилия Апат (или Апата), а суффикс -ий, -а — обычное окончание для фамилий в Галиции и на Волыни. Основа «апат» восходит к греческому «апате» — обман, коварство. В средневековой Польше и Украине так могли прозвать хитрого, изворотливого человека, либо того, кто промышлял мелким мошенничеством. Прозвище было неодобрительным, но, как часто бывает, закрепилось за потомками.

Словообразовательная модель здесь проста: основа «Апат-» + окончание «-ы», которое в украинском языке часто передаёт множественное число (семья Апатов). То есть буквально «Апаты» — это «род Апатов». В русском паспорте такая фамилия не склоняется (Иван Апаты, у Ивана Апаты), что создаёт путаницу: носитель может считать её русской фамилией на -ых, но на самом деле это украинская фамилия, застывшая в форме именительного падежа множественного числа.

Вторая версия, менее вероятная, но тоже имеющая право на существование, — связь с церковным термином «аббат» (лат. abbas, через польск. opat). В польском языке «opat» — настоятель монастыря. Однако фонетический переход «опат» в «апат» маловероятен для польского, хотя возможен в украинских говорах с аканьем. Если фамилия и восходит к этому слову, то предок мог быть не монахом, а работником при монастыре или крестьянином, жившим на монастырских землях. Эта версия слабее именно из-за сомнительного звукового перехода, но полностью её отбрасывать не стоит — в ономастике встречаются и более странные искажения.

Географически фамилия Апаты встречается в основном на западе Украины (Львовская, Тернопольская области) и в приграничных районах Польши. В России она — большая редкость, её носители, скорее всего, потомки переселенцев из Западной Украины времён Столыпинской аграрной реформы или более поздних миграций XX века. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) «Апаты» не упоминается, что подтверждает её локальный и неповсеместный характер. Если вы носитель этой фамилии, скорее всего, ваши корни — в западноукраинском селе, где предка прозвали за хитрость или за связь с монастырём.