Фамилия Аплетаева — это не самостоятельное образование, а фонетический вариант более распространённой фамилии Оплетаева. Такая замена «о» на «а» в начале слова типична для южнорусских и некоторых белорусских говоров, где аканье отражается и в письменной фиксации фамилий. Поэтому, если вы ищете корни, стоит в первую очередь смотреть на форму Оплетаев.

Обе фамилии восходят к прозвищу Оплетай. В его основе лежит диалектный глагол «оплетать», который в переносном смысле означал «обманывать», «хитрить», «окручивать» (ср. с современным «оплести» в значении «обмануть»). Скорее всего, прозвище носило иронический характер и закреплялось за человеком, которого считали изворотливым, ловким на язык или способным обвести вокруг пальца.

Модель образования типична для русских фамилий: прозвище на -ай (Оплетай) → притяжательное прилагательное с суффиксом -ев → фамилия Оплетаев / Аплетаев. Суффикс -ев указывает на принадлежность: «чей?» — «сын Оплетая». Изначально так называли ребёнка или прямого потомка человека с этим прозвищем.

Словообразовательная цепочка здесь прозрачнее, чем у многих «профессиональных» фамилий: мы имеем дело не с ремеслом, а с прозвищем по черте характера или поведению. В ономастике это обычный путь — дать человеку имя по его привычке «оплетать» в разговоре, то есть говорить с хитрецой. Со временем прозвище перешло в фамилию, и первоначальный намёк на недостаток стёрся.

Других версий происхождения, связанных, например, с конкретным ремеслом или географическим названием, для этой фамилии нет — все варианты сходятся к глаголу «оплетать» в его переносном значении.