Фамилия Апухов — одна из тех, где короткая основа скрывает сразу несколько возможных путей происхождения. В ней нет суффикса -ин, типичного для «материнских» фамилий (Апухин), и нет -ский, указывающего на географическое название. Суффикс -ов стандартно указывает на принадлежность: «чей?» — Апухов, то есть сын или потомок человека по прозвищу или имени Апух.

Самая прямая и правдоподобная версия связывает основу с диалектным глаголом «апухать» или «опухать». В старых говорах «апух» — это опухоль, отёк, вздутие. Прозвище Апух могли дать человеку с болезненной отёчностью, полному, с одутловатым лицом. Прозвища по внешним признакам — самый массовый пласт русских фамилий, поэтому эта версия наиболее естественна.

Другая, менее очевидная гипотеза, отталкивается от слова «пух» (мелкие перья). Приставка о-/а- могла дать значение «покрытый пухом», то есть мягкий, пушистый. Но здесь мешает приставка а- (вместо о-), которая встречается в северных и южных говорах, но не является нормой. Поэтому версия с «опухолью» надёжнее.

Иногда фамилию Апухов пытаются вывести из тюркских языков, где «ап» — «охота», а «ух» — «стрела». Но это натяжка: русские фамилии редко образуются от случайного набора слогов, а тюркская основа без суффикса -ов в таком виде нехарактерна.

Географически фамилия редкая. Встречается в основном в центральных областях России, изредка на Дону. Сословного барьера у неё нет: Апуховы могли быть и крестьянами, и мещанами. В дореволюционных списках эта фамилия не отмечена ни у знати, ни у духовенства — значит, корни у неё простонародные, прозвищные.

Итог: если ваши предки — Апуховы, скорее всего, родоначальник получил прозвище по заметной внешней черте: полноте или отёчности. Фамилия редкая, но прозрачная по смыслу — без загадочных иноязычных заимствований.