Фамилия Аринш — редкая и нестандартная для русского уха. Её происхождение не очевидно, и здесь возможны два основных пути, причём один из них почти наверняка приведёт к латышским корням.

Первый и самый вероятный вариант: фамилия балтийская, латышская или литовская. В латышском языке окончание -ш (-š) — это типичный показатель мужского рода в фамилиях, образованных от имён или прозвищ. Основа «Арин» восходит к латышскому имени Arins — уменьшительной форме от имени Ārijs (Арий) или от Ārons (Аарон). В таком случае фамилия Аринш означает «сын Арина» или просто «принадлежащий Арину». В Латвии фамилии на -иньш/-инш (Ariņš) — одна из самых распространённых моделей, и Аринш — это русифицированная или упрощённая запись латышской фамилии Ariņš. Если ваши предки жили в Латгалии или прибалтийских губерниях Российской империи, версия почти стопроцентная.

Второй вариант, менее вероятный, но возможный в русском контексте: фамилия могла возникнуть как вариант записи фамилии Ариныч или Аринич — от имени Арина (простонародная форма Ирины). Суффикс -ш иногда появляется в русских фамилиях как редукция окончания (сравните: Аринин → Аринш). Но это скорее исключение, так как в русской ономастике суффикс -ш не продуктивен. Если фамилия встречается в центральных русских регионах, а не на северо-западе, можно допустить, что её носили потомки человека по имени Арина (женское имя в основе отчества — редкость, но не нонсенс). Однако в этом случае ждали бы форму Аринин или Аринов, а не Аринш.

С точки зрения словообразовательной модели, фамилия Аринш стоит особняком: она не вписывается в типичные русские патронимы на -ов/-ев или -ин. Это сразу указывает на иноязычное происхождение. Географически фамилия тяготеет к Латвии, Эстонии и Псковской области — регионам, где столетиями жили балты и где русские фамилии нередко получали местное оформление.

Таким образом, если вы носите фамилию Аринш, ваши предки, скорее всего, были латышами или латгальцами. В дореволюционной России они могли числиться крестьянами или мещанами, а сама фамилия в документах писалась через «и» и с твёрдым знаком на конце (Ариншъ). Второй, русский, вариант — маргинальная гипотеза, и для её подтверждения нужны документальные свидетельства из конкретной губернии.