Фамилия Арямкин образована от прозвища Арямка. Основа прозвища восходит к слову «арянин» — так в русских землях с XV по XIX век называли удмуртов. Само слово «арянин» — заимствование, скорее всего, из татарского (ar, ary — «удмурт») или чувашского (ar — «удмурт», «человек»). Прозвище Арямка, таким образом, указывало на этническую принадлежность предка: его могли дать выходцу из удмуртской среды или человеку, жившему среди удмуртов.

Суффикс -ин в фамилии Арямкин указывает на модель притяжательности: «чей?» — «Арямкин», то есть сын или потомок Арямки. Это типичный патроним, образованный от прозвища с уменьшительным суффиксом -к(а). По такой же схеме возникли, например, фамилии Васькин, Петькин или Митькин, но в основе Арямкина лежит не календарное имя, а этноним.

В отличие от распространённых фамилий на -ов/-ев, фамилия Арямкин встречается гораздо реже. Основной ареал её бытования — северо-восток европейской части России: Кировская область, Пермский край, Удмуртия. Это совпадает с зоной исторического расселения удмуртов и русских переселенцев, что косвенно подтверждает связь прозвища с местным населением. Если ваш предок носил фамилию Арямкин, он с высокой вероятностью происходил из среды крестьян или посадских людей Вятской или Пермской губерний.