Фамилия Ашури — редкий случай, когда корень слова почти наверняка не славянский, а тюркский или иранский. В русском быту она встречается редко, и её происхождение стоит искать не в древнерусских прозвищах, а в восточных именах и географических названиях.

Самая прямая версия: основа «Ашур» восходит к арабскому имени Ашур (или Ашура). В исламской традиции Ашура — десятый день месяца мухаррам, важная дата для мусульман-шиитов. Мальчика могли назвать Ашуром в честь этого дня или в честь одного из пророков. Фамилия, образованная от такого имени, обычна для народов Кавказа, Средней Азии и Поволжья. Суффикс -и в фамилии Ашури — типичный для тюркских и иранских языков показатель принадлежности (чей? — Ашури, то есть «из рода Ашура»). В русской среде такой суффикс нехарактерен, поэтому фамилию могли русифицировать, но она сохранила исходную форму.

Есть и менее очевидная версия, связанная с географией. В Иране существует город Ашур (или Ашура), а также область Ашуристан. Фамилия могла возникнуть как указание на выходца из этих мест — по той же модели, что и, скажем, Тегеран или Ширази. В таком случае Ашури — это не «сын Ашура», а «человек из Ашура».

В России фамилия Ашури встречается в основном у татар, башкир, азербайджанцев и народов Дагестана. Встречаются и единичные случаи у русских, но это, скорее всего, результат межнациональных браков или русификации исходной фамилии в советское время.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Ашуров, Ашурян — показывает разницу в моделях. Ашуров — классическая русская патронимическая приставка, Ашурян — армянский суффикс. Ашури же стоит особняком: это не патроним, а, скорее, этноним или прозвище по месту жительства. Суффикс -и в данном случае — не уменьшительный и не ласкательный, а указательный, и это сразу выделяет фамилию из ряда типичных русских окончаний.