Фамилия Асылаев — случай, где тюркская основа встретилась с русским суффиксом, и получился редкий гибрид. Если отбросить фамильный суффикс -ев, остаётся корень Асылай. В тюркских языках (башкирском, татарском, казахском) «ас» или «аслы» означает «настоящий, подлинный, благородный», а «ай» — месяц, луна. Сложное имя Асылай, вероятно, значило «благородный, как луна» или «чистый месяц» — типичный для кочевой культуры образ, где луна символизирует красоту и свет. Встречается и вариант толкования от «асыл» (драгоценный, дорогой) с тем же аффиксом.

Носители фамилии сосредоточены в Башкортостане и соседних регионах Южного Урала — Оренбургской, Челябинской областях. Это указывает на башкирское или татарское происхождение. Фамилию образовали по русской модели патронимических фамилий: к тюркскому личному имени Асылай (или Асыл) добавили русский суффикс принадлежности -ев (фонетический вариант -ов после мягкого согласного). В XIX веке, когда шёл массовый учёт населения, многие нерусские имена «обрусевали» таким образом, чтобы вписаться в имперскую документацию.

Интересная деталь: в отличие от фамилий на -ин, которые часто образуются от основ на -а/-я, форма Асылаев с суффиксом -ев подсказывает, что исходное имя звучало как Асылай (с конечным «й»), а не Асыла. Это косвенно подтверждает, что имя было полноценным двусоставным тюркским антропонимом, а не просто прозвищем. Социальный срез: предки Асылаевых, скорее всего, были из сословия тептярей или башкир-вотчинников, которые вели полукочевой образ жизни и занимались скотоводством, но к концу XIX века уже прочно осели на земле.

Искать однокоренные фамилии в русском языке бессмысленно — Асылаев стоит особняком. Ближайшие аналоги — Асылбаев, Асылгареев, где второй компонент имени другой, но корень «асыл» тот же. Если у вас фамилия Асылаев, вы с высокой вероятностью потомок человека, которого в его общине называли «благородным» или «драгоценным».