Фамилия Асылова — это «материнская» форма, то есть она передавалась по женской линии. В русской традиции такие фамилии на -ов, -ин обычно принадлежат женщинам, но в данном случае мы разбираем исходную фамилию Асылов в её женском варианте. Если же говорить о корне, то перед нами типичная тюркская основа, которая попала в русский ономастикон через процессы межэтнического общения, особенно в Поволжье и на Урале.

В основе фамилии лежит мужское личное имя Асыл. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) слово «асыл» имеет несколько значений: «благородный», «драгоценный», «настоящий», «чистый». Часто это имя давали с пожеланием, чтобы ребёнок вырос достойным, честным человеком, или же оно указывало на высокое происхождение. Таким образом, Асылов — это буквально «потомок Асыла», то есть человека, которого называли благородным.

Модель образования фамилии — русский патронимический суффикс -ов, который присоединили к тюркскому имени. Это типичный случай для XVI–XIX веков, когда нерусское население Российской империи получало фамилии по отцу с помощью русских окончаний. Встречается фамилия в основном среди татар, башкир, а также у мишарей и чувашей. Ударение, скорее всего, падает на первый слог: А́сылова, хотя в бытовой речи возможны варианты.

Интересная деталь: в некоторых диалектах слово «асыл» могло также означать «суть», «основа» или даже «порода» (скота). Поэтому не исключено, что в редких случаях прозвище Асыл могли дать не за благородство характера, а за принадлежность к определённому роду или за крепкое телосложение. Но основная версия — именная, от личного имени. Фамилия не относится к числу древних дворянских, её носители в большинстве своём были крестьянами, ремесленниками или служилыми людьми из татарских мурз.