Фамилия Авакимова — женская форма, образованная от мужской Авакимов. Её основа — не каноническое церковное имя, а его живая, народная переделка. В основе лежит библейское имя Иоаким, которое в русской традиции чаще всего превращалось в Аким. Аваким — один из просторечных вариантов, возникший, скорее всего, под влиянием акающих говоров, где безударное «о» переходит в «а», или как результат смешения с именем Авакум (от древнееврейского «обнимающий»). Так или иначе, родоначальника звали Аваким.

Словообразовательная модель здесь простейшая и типичная для русских фамилий: к основе на твёрдый согласный (Аваким) прибавили притяжательный суффикс -ов. Буквально это означало «сын Авакима» или «из семьи Авакима». Фамилия Авакимов (и Авакимова) — не самая частая, но устойчивая. Она фиксируется в основном в центральных и южных регионах России, как раз там, где аканье было нормой речи. В документах XVII–XVIII веков такие формы встречаются среди крестьян и посадских людей, то есть предки носителей фамилии почти наверняка не принадлежали к дворянству, а были землепашцами, ремесленниками или служилыми людьми «по прибору».

Любопытная деталь: фамилия могла писаться и через «о» — Овакимов, что отражает колебания старой орфографии и живого произношения. В официальных церковных записях имя могли вернуть к исходному «Иоаким», но в быту и в документах приказных изб закрепился именно народный вариант. Поэтому Авакимовы — это, по сути, те же Акимовы, но с характерным региональным «акцентом» в написании. Если сравнить с однокоренными фамилиями (Акимов, Якимов, Екимов), то Авакимов стоит особняком как более редкий и архаичный вариант, сохранивший следы живого народного произношения, которое не подравняли под книжную норму.

Коротко: фамилия Авакимова — не загадка, а чёткий лингвистический маркер. Предков звали Авакимом, они жили в зоне акающих говоров и, скорее всего, были крестьянами или горожанами низшего сословия. Никакой тайны, только история языка и быта.