Фамилия Авакимова — женская форма мужской фамилии Авакимов, и её происхождение напрямую связано с именем, точнее — с его диалектной или народной переделкой. В основе лежит каноническое библейское имя Иоаким, которое в русской традиции часто звучало как Аким. Аваким — это один из просторечных вариантов, возникший, вероятно, под влиянием акающих говоров (где «о» переходит в «а») или как результат контаминации с именем Авакум (от древнееврейского «обнимающий»). В любом случае, корень один: человек по имени Аваким (или Аким) стал родоначальником.

Модель образования типична для русских фамилий: к основе на твёрдый согласный (Аваким) добавили притяжательный суффикс -ов, означающий «сын Авакима» или «принадлежащий Авакиму». Фамилия Авакимова (и Авакимов) — не самая распространённая, но устойчивая. Она фиксируется в основном в центральных и южных регионах России, особенно в среде, где аканье было нормой речи. В документах XVII–XVIII веков такие формы встречаются среди крестьян и посадских людей, то есть предки носителей фамилии скорее всего не принадлежали к дворянству, а были простыми людьми — землепашцами, ремесленниками или служилыми людьми «по прибору».

Интересно, что фамилия Авакимов могла писаться и через «о» — Овакимов, что отражает колебания старой орфографии. В некоторых говорах имя Аким произносили с начальным «а» (Аким), а в официальных церковных записях могли вернуть «и» — Иоаким. Поэтому Авакимовы — это, по сути, те же Акимовы, но с характерным региональным «акцентом» в написании. Если сравнить с однокоренными фамилиями (Акимов, Якимов, Екимов), то Авакимов стоит особняком как более редкий и архаичный вариант, сохранивший следы живого народного произношения.

Таким образом, фамилия Авакимова — это не загадка, а чёткий маркер: предки назывались Авакимом, жили в зоне акающих говоров и, скорее всего, были крестьянами или горожанами низшего сословия. Никакой тайны, только лингвистика и немного бытовой истории.