Фамилия Авдовский — редкий случай, когда корень слова почти наверняка указывает на географическое происхождение, а не на личное прозвище. В её основе лежит топоним Авдово — название нескольких деревень, которые существовали на территории исторических Новгородской, Псковской и Смоленской губерний. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, происходил из одной из таких деревень или был помещиком, владевшим землёй в этом месте.

Суффикс -ский (с вариантом -цкий) в русских фамилиях традиционно указывает на дворянское или шляхетское происхождение. Однако в XIX веке эта модель стала массовой: по образцу знатных фамилий (Вяземский, Трубецкой) крестьяне и мещане, переселявшиеся в города, нередко брали фамилию по названию своей малой родины. Так что Авдовский мог быть как потомственным дворянином, так и выходцем из крестьян, который при записи в ревизскую сказку просто назвал свою деревню.

Само название Авдово, скорее всего, восходит к личному имени Авдей (от древнееврейского Овадья — «слуга Бога»). В русских говорах имя Авдей дало множество уменьшительных форм: Авдя, Авдюха, Авдоша. Отчества от этих форм (Авдов сын) и стали основой для названий деревень. Менее вероятная, но возможная версия — связь с диалектным словом «авда» (в некоторых говорах так называли ленивого или нерасторопного человека), но эта гипотеза слабее, так как не подкреплена устойчивой топонимической традицией.

Фамилия Авдовский встречается в основном на северо-западе России и в Беларуси. Ономастический словарь Б. Унбегауна не выделяет её в отдельную статью, но относит к типичным фамилиям на -ский, образованным от названий населённых пунктов на -ово. Если вы ищете свои корни, первым делом стоит проверить писцовые книги Новгородской губернии или метрические записи Витебской губернии — там эта фамилия фиксируется с середины XVIII века.