Фамилия Аверьяскина образована от мужского имени Аверьян, а точнее — от его просторечной формы Аверь. К основе «Аверь» добавили суффикс -яск, и получилось притяжательное прилагательное, отвечавшее на вопрос «чей?»: Аверьяскин. Отвечая на главный вопрос, который обычно волнует носителя: ваши предки по мужской линии носили имя или прозвище Аверьяска (Аверя), а фамилия закрепилась за потомками в женском роде.

Сам корень ведет к церковному имени Аверьян. По одной из версий, Аверьян — это просторечная переделка канонического имени Аверкий, которое восходит к латинскому глаголу «аверто» — «обращать в бегство». В некоторых местностях, особенно в южнорусских и украинских говорах, Аверьяном называли носителей имени Валериан (от латинского «валео» — «быть здоровым, сильным»). Такое смешение имен — не редкость: в народной среде малознакомое церковное имя часто заменяли на более привычное по звучанию.

Суффикс -яск в этой фамилии заслуживает отдельного внимания. В русской ономастике он встречается реже, чем стандартные -ов или -ин, и обычно указывает на западнорусское или украинское влияние. В польской и белорусской традиции суффиксы -ский/-цкий были типичны для шляхетских фамилий, образованных от названий поместий. Однако в случае с Аверьяскиным суффикс -яск присоединен не к географическому названию, а к личному имени, что говорит о бытовом, а не дворянском происхождении: так могли назвать крестьянина или однодворца по его отцу — Аверьяске.

Фамилия Аверьяскина — довольно редкая. Встречается преимущественно в Поволжье и центральных областях России, особенно в Пензенской, Нижегородской и Ульяновской областях. Это косвенно подтверждает, что предки носителей фамилии были, скорее всего, государственными или помещичьими крестьянами из числа великороссов, а имя Аверьян в этих краях было распространено именно как народный вариант Аверкия и Валериана.