Фамилия Авилина — женская форма, а её мужской вариант — Авилин. Это типичная «патронимическая» фамилия, то есть образованная от личного имени. В основе лежит крестильное имя Аввакум, которое в русской народной традиции часто сокращали до Аввакул, а затем до простого и короткого Авил. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — «Авилин», то есть сын или потомок Авила.

Имя Аввакум пришло в русский язык из древнееврейского через греческий и означает «объятие Божие» или «любовь Божия». В истории России это имя известно прежде всего по протопопу Аввакуму, лидеру старообрядчества XVII века. Однако в народе имя быстро утратило связь с церковным звучанием: крестьяне и горожане произносили его на свой лад, и в быту появились формы Аввакул, Авил, Овил. Именно от такой обиходной формы и пошла фамилия.

Модель образования на -ин характерна для центральной и северной России. Фамилии с этим суффиксом возникали от имён и прозвищ, оканчивающихся на согласный или -а/-я. Авилин — не исключение. Интересно, что ударение в фамилии может падать как на второй слог (Ави́лина), так и на третий (Авили́на). Второй вариант встречается реже, но возможен, если в основе было полное имя Авила с ударением на «и».

Редкость фамилии в том, что она не получила широкого распространения, в отличие от однокоренных Авилов или Аввакумов. Это говорит о том, что носители, скорее всего, происходят из одной локальной группы — например, из крестьян определённой волости или из среды старообрядческих общин, где имя Аввакум почиталось особенно. Если ваши предки носили фамилию Авилина, велика вероятность, что они были либо старообрядцами, либо жителями Поволжья или Поморья, где имя Аввакум держалось дольше всего.

В современном русском языке фамилия звучит как редкая и книжная, хотя на самом деле её корень — простое и тёплое домашнее прозвище.