Фамилия Азарников происходит от имени или прозвища Азарник. Самая прямая версия — от разговорной формы крестильного имени Азарий (древнееврейское «Бог помог»). В народе это имя нередко сокращали и переделывали на свой лад, и Азарник — один из таких обиходных вариантов. Если следовать этой версии, предок был человеком, которого крестили в честь святого Азария, а в быту звали просто Азарником.

Есть и другая, чисто прозвищная гипотеза. Слово «азарник» в русских говорах — фонетический вариант «озорника». Разница между окающими и акающими диалектами стирала границу между этими словами, так что Азарником могли прозвать баловника, шалуна или задиру. Прозвище метко описывало характер, и в таком случае фамилия отражает не имя святого, а житейскую черту основателя рода.

Суффикс -ов указывает на типичную русскую модель: «чей сын?» — Азарников. Это притяжательное прилагательное, которое закрепилось как фамилия. Форма «Азарников» встречается реже, чем «Озорников», что говорит о её преимущественно южнорусском или белорусском происхождении, где аканье было нормой. В документах фамилия фиксируется с XIX века, в основном среди крестьян и мещан центральных и южных губерний.