Фамилия Азарных — редкий случай, когда написание подсказывает происхождение точнее, чем корень. Суффикс -ых (в бытовом варианте -их) типичен для северных и центральных областей России, а также для Сибири, куда переселенцы принесли эту модель. Такие фамилии отвечали на вопрос «чьи?» и закреплялись за целой семьёй или домом: Азарных — «из дома Азара» или «родом от Азара». В официальных документах XIX века их могли записывать в форме Азаровы, но в крестьянской среде, особенно в Вятской, Архангельской, Пермской губерниях, держалась именно старая форма на -ых.

Основа фамилии — имя Азар. Это просторечная, народная форма канонического имени Азарий (древнееврейское «помощь Божья»). В святцах Азарий — один из трёх отроков, не сгоревших в печи вавилонской, имя было распространено среди простых людей, особенно в старообрядческой среде. Однако есть и вторая, менее очевидная версия: прозвище Азар могло произойти от слова «азарт» (через польское żar — жар, пыл). В русских говорах «азарный» означало «запальчивый, горячий, вспыльчивый человек». Если фамилия пошла от прозвища, то предок был человеком крутого нрава, не терпящим возражений.

Стоит отметить, что ударение в фамилии Азарных — на второй слог (Аза́рных), что тоже характерно для северорусской традиции. Встречается она редко: по открытым данным переписей, основные очаги — Кировская область и бывшие вятские земли, а также отдельные семьи в Забайкалье. В дореволюционных метрических книгах фамилия фиксируется с середины XVIII века, в основном среди государственных крестьян и однодворцев. Дворянского происхождения у неё нет — это чисто народная, крестьянская фамилия, сохранившая архаичную грамматическую форму.