Фамилия Азарнин — это русская фамилия, образованная от имени. В её основе, скорее всего, лежит имя Азарний — разговорная форма крестильного имени Азарий. Имя Азарий пришло из древнееврейского языка и означает «Бог помог». Такая модель образования фамилий — от полной или производной формы имени через притяжательный суффикс -ин (отвечающий на вопрос «чей?») — одна из самых распространённых в русской ономастике. Азарнин буквально значит «сын (или потомок) Азарния».

Есть и другая, менее вероятная версия происхождения. Она связывает фамилию с именем Азарана, которое в переводе с персидского означает «дочь огня». Эта гипотеза выглядит спорной: во-первых, имя Азарана не было распространено в русской именной традиции, а во-вторых, фамилии на -ин в подавляющем большинстве случаев образуются от славянских или христианских имён, а не от восточных женских. Поэтому первая версия — от имени Азарий — представляется гораздо более правдоподобной.

Точное место и время возникновения фамилии Азарнин установить сложно. Фамилии на -ин активно формировались в XV–XVII веках, но процесс этот шёл неравномерно: в центральных областях России раньше, на окраинах — позже. Судя по структуре, фамилия могла появиться в среде крестьян или посадских людей, где отчества и фамилии на -ин были особенно распространены. Сейчас носители фамилии Азарнин встречаются редко, что делает её интересным памятником русской антропонимии, сохранившим в себе древнее библейское имя.