Фамилия Азарочкины — один из тех редких случаев, когда русская фамилия сохранила не только имя предка, но и интонацию, с которой к нему обращались. В основе лежит каноническое мужское имя Азарий (в просторечии — Азар), которое переводят с древнееврейского как «помощь Божья». Но фамилия пошла не от полной формы, а от уменьшительно-ласкательной — Азарочка. Суффикс «-очк-» в русском языке придаёт слову оттенок нежности, так что Азарочка — это ласковое домашнее прозвище ребёнка или младшего члена семьи.

Словообразовательная модель проста и типична для восточнославянских фамилий: к основе (Азарочк-) добавили суффикс принадлежности «-ин», который отвечает на вопрос «чей?» — Азарочкин. Форма множественного числа «Азарочкины» закрепилась в русской традиции как обозначение целого рода. В документах XIX — начала XX века так могли записать крестьянскую или мещанскую семью: главу дома звали Азаром, а его домочадцев — «Азарочкины дети», то есть потомки Азарочки.

Фамилия редкая, и в ней прослеживаются черты южнорусского или украинского говора. В северных и центральных губерниях России чаще встречались формы от полного имени — Азаров, Азарьев. А вот уменьшительные формы на «-очк-» более характерны для малороссийских земель и прилегающих областей. Если ваши предки — Азарочкины, велика вероятность, что их корни уходят в Курскую, Воронежскую губернии или на территорию современной Украины, где имя Азар (Азарий) было распространено среди казачества и крестьянства.

В отличие от фамилий на «-ов/-ев», которые часто образовывались от прозвищ или профессий, Азарочкины — чисто «именная» фамилия. Она ничего не говорит о ремесле предка, но зато точно указывает: в семье того самого Азара очень любили, называли ласково, и это домашнее прозвище со временем стало родовым. В современных справочниках фамилия встречается, но не относится к числу массовых — её носители обладают довольно редким и тёплым по звучанию фамильным именем.