Фамилия Азарочкина — женская форма от Азарочкин, и её разговорная, почти домашняя природа заметна сразу. В основе лежит не полное календарное имя, а уменьшительно-ласкательная форма. Исходное имя — Азар, народный вариант церковного имени Азария (древнееврейское ‘Бог помог’). В русском быту имя Азар встречалось редко, зато дало целый «куст» фамилий: Азаров, Азарин, Азаркин, Азарочкин.

Модель образования проста и прозрачна. Суффикс -очк- (уменьшительный, как в словах «ласточка», «звёздочка») присоединился к основе Азар. Получилось имя Азарочка — ласковое обращение к человеку по имени Азар. Затем к нему добавился патронимический суффикс -ин, который в русских фамилиях указывал на принадлежность: «чей?» — Азарочкин, то есть сын или потомок Азарочки. Женская форма Азарочкина сохраняет ту же грамматику — она означает «дочь или жена Азарочкина».

Любопытно, что суффикс -очк- в фамилиях встречается нечасто: он слишком «ласковый» для официального именования. Обычно такие формы закреплялись в среде, где имя использовали в быту, в семье, а не в приказных избах. Это косвенно указывает на то, что родоначальник Азарочкиных был человеком, которого в окружении знали именно как Азарочку — возможно, младшего в семье или того, к кому относились с особой теплотой.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и украинским областям, где имя Азар было более употребительно, чем в северных губерниях. Встречается она в документах XVII–XVIII веков, но массово закрепилась после отмены крепостного права, когда крестьянам давали фамилии по именам отцов. Азарочкин — не дворянская, а крестьянско-мещанская фамилия: её носители, скорее всего, были земледельцами или ремесленниками.

Есть и другая версия: в некоторых говорах слово «азар» имело нарицательное значение — ‘задорный, горячий человек’. Однако суффикс -очк- слишком ласкательный, он характерен именно для имён, а не для прозвищ. Прозвище Азар дало бы форму Азаров или Азаркин, но не Азарочкин. Поэтому версия с крестильным именем Азар остаётся основной.