Фамилия Азарочкина — вариант в женском роде от мужской фамилии Азарочкин. В её основе лежит не полное календарное имя, а уменьшительно-ласкательная форма. Исходное имя — Азар, народный вариант церковного имени Азария (древнееврейское ‘Бог помог’). В русском быту имя Азар встречалось редко, зато дало целый «куст» фамилий: Азаров, Азарин, Азаркин, Азарочкин.

Модель образования проста и прозрачна: суффикс -очк- (уменьшительный, как в словах «ласточка», «звёздочка») присоединился к основе Азар. Получилось имя Азарочка — ласковое обращение к человеку по имени Азар. Затем к нему добавился патронимический суффикс -ин, который в русских фамилиях указывал на принадлежность: «чей?» — Азарочкин, то есть сын или потомок Азарочки. Женская форма Азарочкина сохраняет ту же грамматику — она означает «дочь или жена Азарочкина».

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и украинским областям, где имя Азар было более употребительно, чем в северных губерниях. Встречается она в документах XVII–XVIII веков, но массово закрепилась после отмены крепостного права, когда крестьянам массово давали фамилии по именам отцов. Азарочкин — не дворянская, а крестьянско-мещанская фамилия: её носители, скорее всего, были земледельцами или ремесленниками.

Любопытная деталь: в некоторых говорах слово «азар» имело и нарицательное значение — ‘задорный, горячий человек’. Однако вряд ли фамилия произошла от этого прозвища напрямую: суффикс -очк- слишком ласкательный, он характерен именно для имён, а не для прозвищ. Поэтому версия с крестильным именем Азар остаётся основной.