Фамилия Азаряев — хороший пример того, как русская фамилия могла возникнуть из личного имени, но с неочевидным на первый взгляд корнем. Скорее всего, в её основе лежит крестильное имя Азарий (от древнееврейского «Азария» — «помощь Божья»). В святцах это имя известно благодаря ветхозаветному пророку Азарии и одному из трёх отроков, не сгоревших в печи. Именно от полной формы Азарий через суффикс -ев и образована фамилия: Азарий → сын Азария → Азаряев.

Суффикс -ев указывает на принадлежность: «чей?» — Азаряев, то есть потомок Азария. Это стандартная патронимическая модель, характерная для фамилий на -ов/-ев, которые в центральной России и Поволжье составляют большинство. Однако в написании есть нюанс: основа имени Азарий даёт форму Азариев, но на практике фамилия закрепилась как Азаряев — с «я» вместо «и». Такое могло произойти под влиянием акающего произношения (в безударной позиции «и» и «я» звучат похоже) или из-за народной переделки имени в Азар, Азаря.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с тюркским или кавказским корнем. В языках народов Кавказа (например, в армянском) есть имя Азар, означающее «огонь». В таком случае Азаряев — это русифицированная форма фамилии с русским суффиксом, указывающим на сына Азара. Однако аргумент против: для тюркских и кавказских фамилий в России типичнее суффикс -ов (Азаров), а не -ев, и форма Азаряев встречается в основном в русских документах центральных губерний, а не на юге.

В дореволюционных переписях Азаряевы фиксировались преимущественно в крестьянской среде Тамбовской, Рязанской и Пензенской губерний. Носители фамилии могли быть как потомками крещёных татар или мордвы, так и русскими, чей предок носил редкое церковное имя Азарий. Сегодня фамилия остаётся малочисленной, но стабильно встречается в Поволжье и центральной России.