Фамилия Азарьяева — редкая и нестандартная по своей словообразовательной модели. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий на -ов/-ев, которые образуются от существительных или прилагательных (Кузнецов, Смирнов), здесь мы видим суффикс -ев, присоединённый к личному имени Азарья. Это имя — народная, разговорная форма библейского имени Азарий (др.-евр. Азарьягу — «помощь Господа» или «Бог помог»). Таким образом, фамилия Азарьяева — это отчество в чистом виде: «чей?» — Азарьев, то есть сын (или внук) человека по имени Азарья.

Важный нюанс — окончание -ая. Форма Азарьяева (а не Азарьев) указывает на женскую линию: это фамилия замужней женщины или вдовы. В русской традиции XVIII–XIX веков, особенно среди крестьян и мещан, женщину часто записывали по мужу: если муж был Азарьев, то жена становилась Азарьева. Однако в ряде регионов, особенно на севере и в Поволжье, фамилии на -ая могли закрепляться и за целым родом, не меняясь по полу. В современных документах фамилия Азарьяева, скорее всего, принадлежит женщине, а её мужской вариант — Азарьяев.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским областям, а также к Поволжью, где имя Азарий (в просторечии Азарья) было более употребимо среди духовенства и старообрядцев. В метрических книгах XIX века Азарьевы встречаются в Тамбовской, Саратовской и Астраханской губерниях. Интересно, что ударение в фамилии чаще падает на второй слог (Аза́рьяева), хотя логичнее было бы на третий (Азарья́ева) — по аналогии с именем Аза́рий. Это говорит о том, что фамилия давно оторвалась от исходного имени и живёт собственной жизнью.

С точки зрения лингвиста Б. Унбегауна, такие фамилии на -ья-ев относятся к «полуотчествам»: они сохранили архаичную форму имени в родительном падеже (Азарьи → Азарьев). В современном русском языке это выглядит как Азарья-ев, что делает фамилию легко узнаваемой, но редкой — в списках частотных русских фамилий она отсутствует. Если ваш предок носил фамилию Азарьяев, он, вероятно, происходил из среды, где имя Азарий давали в честь святого (Азария — один из трёх отроков в пещи огненной), и был либо крестьянином, либо священнослужителем низшего ранга.