Фамилия Азоркин образована от прозвища Азорка. Самая вероятная версия связывает его с иранским словом «азор» — «хозяин». В таком случае Азоркой называли главу семейства, состоятельного или влиятельного человека. Слово «азор» встречается в осетинском языке как «æзæр» в значении «господин», «владыка», что подтверждает восточное происхождение корня. Эта гипотеза подкрепляется и географией фамилии: Азоркины встречаются среди мордвы-эрзи, а в эрзянском языке есть заимствования из иранских языков, оставшиеся ещё со времён скифо-сарматского влияния в Поволжье. Таким образом, прозвище могло прийти в русскую среду через финно-угорские народы, где слово «азор» означало хозяина или старшего в доме.

Есть и другая версия: прозвище Азорка могло возникнуть от прилагательного «зоркий» через перестановку звуков. В говорах «азоркий» иногда произносили вместо «зоркий» — так говорили о человеке с острым зрением, проницательном и наблюдательном. Эта версия проще, но менее убедительна: суффикс -к- в прозвище (Азорка) типичен для уменьшительных форм личных имён и прозвищ, а не для прямого образования от качественного прилагательного. Скорее всего, здесь сработала народная этимология, когда непонятное иранское слово переосмыслили под привычное русское «зоркий».

Фамилия Азоркин образована по стандартной русской модели: к основе Азорк- добавили суффикс принадлежности -ин, указывающий на родство («чей?» — Азоркин, то есть сын Азорки). Такая модель была особенно распространена в северных и центральных губерниях России. Встречается фамилия и в варианте Азоркина — женская форма, а также в написании с одной «з» (Азорин), но это уже другая фамилия с иной этимологией.

Таким образом, потомок человека по прозвищу Азорка со временем получил фамилию Азоркин. Скорее всего, основатель рода был уважаемым главой семьи или общины, а его прозвище закрепилось за детьми и внуками как родовое имя.