Фамилия Бадошкин — редкий пример, когда в основе лежит не очевидное русское слово, а, скорее всего, заимствованное прозвище. Исходное прозвище Бадошка могло прийти из двух разных языковых сред.

Первая версия отсылает к польскому слову badacz — «исследователь». В польском это слово имеет оттенок «испытатель», «тот, кто проверяет». Если предок был польского происхождения или жил на пограничных с Речью Посполитой землях, его могли прозвать Бадошкой за любознательность, склонность к дознанию или за то, что он «всё выведывал».

Вторая версия — украинская. От прилагательного бадьорий, что значит «бодрый, живой, оживлённый». В украинских говорах бадьорий — человек энергичный, не знающий уныния. Прозвище Бадошка в таком случае закрепляло за предком это свойство характера. Слово бадьорий родственно русскому «бодрый», но в украинском сохранило более яркий оттенок «задиристого оживления».

Словообразовательная модель проста: суффикс -к- в прозвище Бадошка указывает на уменьшительно-ласкательную или просторечную форму (как Картошка от картофель, но здесь — от иноязычной основы). Затем суффикс -ин образовал притяжательное прилагательное: «чей?» — Бадошкин, то есть сын или потомок Бадошки.

Фамилия Бадошкин встречается крайне редко. В дореволюционных метрических книгах она фиксируется в основном в южных губерниях Российской империи — там, где плотно пересекались русское, украинское и польское население. Это косвенно подтверждает, что обе версии (польская и украинская) могли работать одновременно: в разных ветках рода прозвище могло возникать независимо от разных корней.

Сравните с однокоренными фамилиями: Бадошин, Бадонин, Бадорский. У них общий корень бад-, но разные суффиксы и география. Бадошкин стоит особняком из-за суффикса -к-, который делает прозвище более «бытовым» и сниженным по стилю. Это могло означать, что предок был человеком простого звания, но с яркой характеристикой — либо «исследователь» в своей среде, либо «бодряк», которого все знали по живому нраву.