Фамилия Баграмшин — редкий случай в русском ономастиконе, где основа явно тюркская, а суффикс — исконно русский. Модель образования проста: к личному имени или прозвищу Баграм (или Баграмша) добавили типичный русский патронимический суффикс -ин, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Баграма). Такой способ в XVI–XVII веках был основным для оформления фамилий у служилых людей, в том числе выходцев из татарской и башкирской среды.

Само имя Баграм — восточное, восходит к тюркскому «байрам» (праздник). В тюркских языках «байрам» — это религиозный или семейный праздник, а имя Байрам/Баграм давали мальчику, родившемуся в праздничный день. Вариант Баграмша — это форма с уважительным суффиксом -ша, характерным для имён знати (ср. Ахметша, Ибрагимша). Таким образом, Баграмшин буквально означает «потомок Баграма» или «сын Баграмши».

Географически фамилия тяготеет к Поволжью и Уралу — территориям, где столетиями соседствовали русские и тюркские народы. Встречается она преимущественно у татар, башкир и чувашей, принявших православие, а также у русских, чьи предки были крещёными татарами. В дворянских родословных книгах эта фамилия не зафиксирована — её носителями были, скорее всего, служилые люди, казаки или крестьяне.

Есть и другая, менее вероятная версия: связь с армянским именем Баграм (от древнеперсидского «Баграм» — «победа»). Однако для русской фамилии такой путь маловероятен: армянские фамилии обычно оформляются суффиксами -ян/-янц, а не -ин. Кроме того, тюркская этимология объясняет и ударение (на второй слог), и характерное для татарских фамилий чередование «б/п» в просторечии (Баграмшин — Баграмшин, но иногда Бакрамшин).

Итак, фамилия Баграмшин — это памятник межэтнического контакта: тюркское имя, обрусевшее через суффикс, и история, уходящая в эпоху Казанского ханства и его присоединения к Московскому государству.