Фамилия Багышов образована по самой частотной для русских фамилий модели — с помощью патронимического суффикса -ов. Но основа у неё не русская, а тюркская, что сразу указывает на происхождение рода из среды, где языки тюркской группы были основными. В отличие от множества фамилий на -ов, образованных от крестильных имён (Иванов, Петров), Багышов отталкивается от прозвища или мирского имени.

Корень «багыш» (или «бакыш») в тюркских языках (татарском, башкирском, казахском, киргизском) имеет два основных значения. Первое — «взгляд», «взор», «смотрение». Второе, более конкретное, — «подарок», «дар», «приношение». В ономастике известен обычай давать детям «обережные» имена, и «Багыш» могло быть таким именем-пожеланием: чтобы ребёнок был «даром» для семьи, либо чтобы он обладал зорким, проницательным взглядом.

Скорее всего, фамилия сформировалась у татар или башкир, возможно, у чувашей или казахов, которые входили в состав Российской империи и получали фамилии по русскому образцу. Мужское личное имя Багыш фиксируется в метрических книгах мусульманских приходов Поволжья и Приуралья. Встречаются и однокоренные фамилии — Багишев, Багышов, Бакишев, что говорит о вариативности записи тюркских звуков в русской транскрипции.

С точки зрения словообразования, фамилия Багышов — классический патроним: «чей?» — Багышов, то есть сын человека по имени Багыш. Суффикс -ов указывает на то, что предок носителя фамилии, скорее всего, был не священнослужителем и не принадлежал к высшей знати (для них характерны фамилии на -ский), а относился к крестьянскому, мещанскому или купеческому сословию. Географически фамилия встречается в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской и Челябинской областях, а также в среде казанских татар, переселившихся в другие регионы.

В некоторых тюркских диалектах «багыш» — это ещё и название птицы (скопа, или ястреб-рыболов). Если исходить из этой версии, прозвище могли дать охотнику или человеку с острым, «хищным» взглядом. Однако версия с именем-пожеланием или прозвищем от слова «дар» выглядит более распространённой в антропонимике. Точный смысл зависит от того, в какой именно тюркской среде и когда фамилия была закреплена официально.