Фамилия Балиж — редкая и неоднозначная с точки зрения корней. В русском языке она не вписывается в привычные словообразовательные модели на -ов, -ин или -ский, что сразу указывает: перед нами либо позднее заимствование, либо фамилия, записанная на слух без адаптации под местные суффиксы. Скорее всего, её основа — прозвище или этноним, а не крестильное имя.

Первая и самая очевидная версия связывает фамилию с тюркскими языками. В тюркских наречиях «балык» означает «рыба». Форма «Балиж» могла возникнуть как диалектный вариант того же слова (с оглушением или заменой конечного согласного) либо как прозвище рыбака или торговца рыбой. В Поволжье и Приуралье, где русские долго соседствовали с татарами и башкирами, такие прозвища не редкость. Сравните с фамилиями Балыков, Балыкин — они того же корня, но оформлены русскими суффиксами. Балиж же сохранила «сырой» тюркский звук.

Вторая версия — южнославянская. В сербском, хорватском, боснийском языках слово «balija» (или «balij») имело уничижительное значение — так называли мусульман, а позже, в просторечии, просто неотёсанного человека. Фамилия Балиж могла попасть в русскую среду через переселенцев с Балкан или через малороссийские земли, где оседали выходцы из Австро-Венгрии. В пользу этой гипотезы говорит окончание -ж, типичное для сербских фамилий (сравните: Радич, Милич, хотя там суффикс -ич). Впрочем, без документальных подтверждений это лишь предположение.

Третья, менее вероятная, но возможная гипотеза — польское или белорусское происхождение от слова «bal» (бал, праздник) или «balować» (кутить). Тогда Балиж могло быть прозвищем гуляки или завсегдатая балов. Но суффикс -иж в польской антропонимии встречается редко, чаще используется -ич или -ский.

Географически фамилия Балиж сегодня встречается единично — в основном в южных областях России и на Украине, а также среди потомков крымских татар. Никаких «знаменитых» носителей в открытых источниках нет, что только подтверждает её редкость. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в конкретном селе или местечке: скорее всего, она возникла как индивидуальное прозвище одного человека и не разрослась в большой род.