Фамилия Балканская — редкий случай, когда географическое название перешло в фамилию не через прозвище выходца с Балкан, а через женскую форму прилагательного. Разберёмся по порядку.

Основа фамилии — «балканск-», то есть прилагательное, образованное от топонима Балканы. Суффикс -ск- в русских фамилиях чаще указывает на территориальную или сословную принадлежность: так могли назвать человека, имевшего отношение к Балканскому полуострову. Но важная деталь: окончание -ая выдаёт женскую форму. В русской традиции фамилии на -ский/-ская обычно закреплялись за дворянством или духовенством, но в данном случае это, скорее, искусственное образование — не от прозвища предка, а от названия местности, где жила семья.

Вероятнее всего, фамилия возникла в среде русского или украинского дворянства XIX века, когда было модно давать фамилии по географическим объектам (вспомним Римских-Корсаковых, Балтийских). Мужская форма — Балканский — могла принадлежать помещику, владевшему имением с таким названием, или чиновнику, служившему на Балканах. Женская форма Балканская закрепилась за его дочерью или женой. Есть и более прозаичная версия: фамилию могли дать семинаристу при поступлении в духовное училище — по месту рождения или просто по красивому звучанию, как часто делали с будущими священниками.

Спорных версий немного. Иногда Балканскую ошибочно связывают с тюркским словом «балкан» (горная гряда), но это не меняет сути: фамилия всё равно остаётся топонимической. Встречается она редко, в основном в центральной России и на юге Украины — там, где в XIX веке селились обрусевшие сербы и болгары, но для них была бы характерна форма Балканов или Балканский, а не Балканская.

Таким образом, носительница фамилии Балканская может считать себя потомком либо дворянского рода, имевшего отношение к Балканам, либо выпускника духовной семинарии, получившего звучную фамилию при поступлении. Точнее сказать без генеалогического исследования трудно — фамилия слишком редкая и не попала в массовые справочники.