Фамилия Балынина — женская форма от мужской Балынин, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Окончание -ин указывает на притяжательную модель: «чей?» — Балынин, то есть сын или потомок человека по прозвищу Балыня. Такая модель в русских фамилиях одна из самых древних и массовых, но здесь она образована не от крестильного имени (как Иванов от Иван), а от прозвища.

Само прозвище Балыня выводят от диалектного слова «балын» или «балына». В северных и сибирских говорах так называли вяленую рыбу — обычно красную, вроде осетра или белуги. Слово тюркского происхождения (сравните с татарским «балык» — рыба) и пришло в русский через торговлю и промыслы. Соответственно, прозвище Балыня мог получить либо торговец рыбой, либо рыбак, специализировавшийся на вялении, либо человек, чем-то напоминавший эту рыбу — например, худой и сухой.

Есть и вторая, менее очевидная версия: в некоторых говорах «балыня» означало «баловень», «избалованный ребёнок», от глагола «баловать». Если это так, то фамилия восходит к бытовой характеристике — прозвищу шалуна или любимчика. Однако первая версия с рыбой выглядит правдоподобнее: прозвища по роду занятий в русской ономастике встречаются чаще, чем по отвлечённым качествам, и давали их не детям, а взрослым мужчинам.

Географически фамилия Балынин (и Балынина) тяготеет к Поволжью и северным областям России — именно там был развит рыбный промысел и сохранилась диалектная лексика. Встречается она нечасто, что делает её скорее локальной, чем общерусской. В отличие от фамилий на -ский, которые часто носили дворяне и духовенство, Балынин — типичная крестьянская или посадская фамилия, закреплённая за одной семьёй в конкретной местности.

Однокоренных фамилий немного: Балыков, Балыкин, Балычев. Все они восходят к тому же корню «балык», но с разными суффиксами. Балынина стоит в этом ряду особняком: суффикс -ин здесь не фамильный, а именно притяжательный, что говорит о раннем закреплении прозвища за родом. Если ваш предок носил фамилию Балынин, скорее всего, он жил на севере или в среднем течении Волги и имел отношение к рыбной ловле или торговле.