Фамилия Балышков — редкий случай, когда прозвищная основа сохранилась почти без искажений, а вот её значение приходится восстанавливать по косвенным данным. Корень «балыш» в русских говорах не зафиксирован как общеупотребительное слово, зато он хорошо известен в тюркских языках. В татарском, башкирском, казахском «балыш» — это «мир», «примирение», «успокоение». Такое прозвище могли дать человеку уступчивому, способному погасить ссору, или, наоборот, тому, кто сам приходил мириться. Встречается и другая версия: в некоторых тюркских диалектах «балыш» — «подарок», «взятка», что тоже могло стать основой для прозвища, но менее вероятно.

Суффикс -ов указывает на стандартную русскую патронимическую модель: Балышков — сын Балыша. То есть исходное прозвище или нецерковное имя было Балыш. Важно, что фамилия сохранила ударение на втором слоге (Балышко́в), а не на первом, как можно было бы ожидать от фамилий на -ышков (ср. Малы́шков). Это дополнительно подтверждает тюркское происхождение корня, где ударение обычно падает на последний слог.

В дореволюционных переписях фамилия Балышков встречается почти исключительно в южных уездах России — в Тамбовской, Воронежской, Саратовской губерниях. Это регионы активного взаимодействия русского и тюркского населения в XVI–XVII веках, где оседали служилые татары, переходившие на русскую службу, и крестьяне из южных «диких полей». Так что предки Балышковых с высокой вероятностью были либо русскими, воспринявшими тюркское прозвище от соседей, либо обрусевшими татарами, сохранившими родовое имя в русифицированной форме.

Однокоренных фамилий в русском ономастиконе мало. Можно вспомнить Балышев (от того же Балыш, но с другим суффиксом) и Балыков (от «балык» — рыба). Но Балышков стоит особняком: суффикс -к- в основе (Балыш-ко) мог указывать на уменьшительную или уничижительную форму, то есть прозвище могли дать младшему, невысокому или несерьёзному человеку. Впрочем, в тюркских языках уменьшительности в этом корне нет, так что, скорее всего, -к- возникло уже на русской почве как адаптация труднопроизносимого для русского уха сочетания.

Фамилия редкая: в современных базах данных насчитывается не более нескольких сотен носителей, в основном в центральной России и Поволжье. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано — Балышковы, судя по всему, были крестьянами или мещанами. Если вы носите эту фамилию, ваши предки, вероятно, жили в южнорусской чернозёмной полосе и имели тюркские корни в четвёртом-пятом поколении.