Фамилия Баркуев образована по одной из самых распространённых в русской ономастике моделей: от прозвища или имени с помощью патронимического суффикса -ев. Основа здесь — Баркуй. Этот суффикс (-ев) присоединяли к основам на мягкий согласный или на -й, что и произошло в данном случае. Мужские фамилии на -ев, как и на -ов, означали «чей?» — то есть сын, потомок человека по имени или прозвищу Баркуй. Женская форма — Баркуева, склоняется как обычное прилагательное.

Корень фамилии — «барк-» или «барку-» — вызывает несколько версий, и ни одна из них не является бесспорной. Самая прямая и правдоподобная отсылка — к диалектному слову «баркуй», которое в некоторых говорах (например, в южнорусских и белорусских) могло означать нечто вроде «ворчун», «брюзга» или «бормотун» (ср. с глаголом «баркать» — ворчать, бормотать, а также издавать невнятные звуки). Человек с таким прозвищем, скорее всего, обладал негромкой, но раздражающей манерой речи или постоянно выражал недовольство. Прозвища, описывающие особенности голоса или характера, на Руси давали охотно — отсюда и многочисленные Громовы, Шептуновы и, возможно, Баркуевы.

Менее вероятна, но тоже возможна связь с тюркскими языками, где корень «барк» мог означать «крепкий», «прочный» или «могущественный» (ср. с монгольским «барх» — сила). Однако в таком случае фамилия скорее звучала бы как Барков или Баркулов, а суффикс -уй в тюркских именах встречается, но реже. Версия о происхождении от крестильного имени Варфоломей (через народную форму Барфоломей) тоже слаба: слишком много фонетических изменений, хотя полностью исключать её нельзя — в народе имена иногда искажали до неузнаваемости.

Фамилия Баркуев довольно редкая. Встречается в основном в центральных и южных регионах России, а также среди потомков переселенцев на Урале и в Сибири. В дореволюционных источниках Баркуевы фиксировались среди крестьян и мещан, реже — среди казаков. Сословной элиты с этой фамилией не отмечено, что типично для прозвищных фамилий, возникших в низовой среде. Если ваш предок носил эту фамилию, он, по всей вероятности, был простым человеком, получившим прозвище за свой нрав или манеру говорить.