Фамилия Баровой — это не исходная форма, а женский вариант фамилии Баров. В русской традиции такие фамилии образуются через суффикс -а (Баров → Барова), а в родительном падеже или при указании на женщину мы встречаем форму «Баровой». Поэтому, если вы ищете историю этой фамилии, начинать нужно с мужского варианта — Баров.

Основа фамилии — «бар». Самое очевидное объяснение: прозвище или профессия, связанная с баром. В дореволюционной России «баром» называли не только трактир или заведение с алкоголем, но и хозяина такого заведения. В южных и западных губерниях слово «бар» могло означать «трактирщик» или «целовальник» (продавец вина). Предок, получивший прозвище Бар, скорее всего, держал питейное заведение или торговал спиртным. Это не дворянское звание, а вполне бытовая, ремесленная кличка.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркским словом «бар» (есть, имеется). В тюркских языках это слово могло стать личным именем-пожеланием (например, «пусть у него всё будет»). Такие имена встречались у татар и башкир, и фамилия Баров могла возникнуть в среде крещёных инородцев. Однако для центральной России версия с трактиром всё же правдоподобнее.

Суффикс -ов указывает на типичную русскую модель образования фамилий от прозвищ или профессий: Иванов, Кузнецов, Баранов. Баров — от прозвища Бар. Фамилия редкая, не имеет известных дворянских родов. Встречается в основном в Поволжье и на юге России, что косвенно подтверждает связь с трактирным делом — в этих регионах кабаки и постоялые дворы называли именно «барами».

В итоге: Баровы — потомки трактирщика или торговца вином. Форма «Баровой» в бытовом употреблении — это просто указание на женщину из этого рода.