Фамилия Барткун — редкий случай, когда в основе лежит не имя, а прозвище, и не славянское, а, скорее всего, балтское или западнославянское. Судя по финали «-ун», это типичный суффикс деятеля в литовском, польском и белорусском языках: он образует названия людей по характерному действию или качеству (сравните: «колдун», «говорун», «летун»). В польском суффикс -un встречается в фамилиях типа «Мазур» — «Мазун», в литовском — в прозвищах вроде «Барткус» (уменьшительное от Бартоломеюс, то есть Варфоломей). Таким образом, Барткун — это, вероятно, «тот, кто связан с Бартком», где Бартко — народная форма имени Варфоломей (Бартоломей) в польском, чешском или литовском обиходе.

Вторая версия, менее очевидная, но возможная: основа «барт» не от имени, а от литовского слова «bárti» — «бранить, ругать». Тогда Барткун — «ворчун» или «тот, кто любит браниться». Суффикс -кун встречается в литовских прозвищах, хотя и реже, чем просто -ун. Сравните с фамилиями Барткус, Барткявичюс, которые распространены в Литве и на западе Беларуси.

Географически фамилия Барткун тяготеет к польско-литовскому пограничью: Гродненская, Витебская области, а также восток современной Польши. В России она встречается единично, чаще всего у потомков переселенцев с западных губерний. Сословно фамилия недворянская — скорее крестьянская или мещанская, сформировавшаяся в среде, где личные прозвища свободно переходили в фамилии без вмешательства канцелярии.

Что отличает Барткун от похожих фамилий — отсутствие русского патронимического суффикса (-ов, -ев, -ин). Фамилия не склоняется по падежам в мужском роде, что выдает её западное происхождение. Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка был католиком или униатом, говорил на смеси польского и белорусского, а его прозвище либо отсылало к имени Варфоломей, либо к не самому спокойному характеру.