Фамилия Барягина — женская форма, а мужская, Барягин, образована по самой частотной русской модели: от прозвища или имени с помощью суффикса -ин, указывающего на принадлежность («чей?» — сын Баряги). Основа здесь — «Баряга». Что это слово означало — вопрос, на который нет однозначного ответа, и это как раз тот случай, когда стоит разобрать несколько версий.

Самое прямое объяснение лежит в диалектной лексике. В некоторых говорах, особенно на севере и в Сибири, «барягой» называли бродягу, бесприютного человека, а также того, кто барится — то есть важничает, ленится, старается жить по-барски. Прозвище могло быть ироничным: так могли окрестить крестьянина, который любил прикидываться барином, или, наоборот, человека, который много скитался. Если принять эту версию, то предок Барягиных был либо «бродягой» в прямом смысле, либо получил насмешливое прозвище за манеру поведения.

Есть и другой, менее очевидный, но лингвистически интересный вариант. Слово «баряга» могло быть вариантом «барыги» — мелкого торговца, перекупщика, человека, который «барышничает». Чередование «ы/я» в русских говорах встречается (например, «дышать» и «дыхать»), так что «баряга» вполне могло быть северным или просторечным произношением «барыги». В этом случае фамилия указывает на род занятий: предок торговал, перепродавал товары, возможно, не всегда честно. Ономасты, в частности Б. Унбегаун, отмечают, что прозвища от «барыги» давались часто, и фамилия Барыгин — не редкость. Барягин — её фонетический «близнец», закрепившийся в отдельной семье.

Географически фамилия встречается не повсеместно, но имеет очаги в Вологодской, Архангельской и Кировской областях. Это косвенно подтверждает «северный» след: именно в тех краях слово «барить» (лениться, важничать) было в ходу. Если ваши предки оттуда, версия с «ленивым барином» становится самой правдоподобной. В любом случае, Барягин — фамилия не от церковного имени, а от прозвища, и её корень — живая, разговорная черта, за которой стоит характер или занятие конкретного человека.