Фамилию Барзенко стоит разбирать с её финала: суффикс -енко — верный признак украинского происхождения. В ономастике это один из самых распространённых патронимических формантов, который в XVI–XVII веках вытеснил на украинских землях великорусское -ов. Барзенко — буквально «маленький Барза» или «сын Барзы». Вопрос упирается в прозвище Барза.

Прозвище Барза, скорее всего, восходит к диалектному глаголу «барзать» или «барзить». В южнорусских и украинских говорах это означало «торопиться, суетиться, делать что-то быстро и неаккуратно». Человек, получивший такое прозвище, мог быть торопыгой или, наоборот, тем, кто работает споро и хлёстко. Есть и другая, менее вероятная версия: связь с тюркским корнем «барс» (хищник). Но для фамилии на украинской территории вариант «торопливый» выглядит убедительнее — он лежит в той же семантической плоскости, что и фамилии Торопыгин, Поспелов.

Географически фамилия Барзенко привязана к центральным и восточным областям Украины: Полтавщина, Черкащина, Сумщина. В Российской империи после реформы 1861 года многие носители фамилии переселялись на Кубань и в Ставрополье, поэтому сейчас Барзенко встречается и в Краснодарском крае, и в Ростовской области. Сословная принадлежность у фамилии не зафиксирована в дворянских родословных книгах — это типичная казацкая или крестьянская фамилия, возникшая в среде свободных общинников Гетманщины.

Интересная деталь: в старых метрических книгах фамилию могли писать как Барзенков. Такой переход — черта русской бюрократической традиции XIX века, когда украинскую фамилию «обрушивали» добавлением -ов для удобства склонения. Если ваши предки записаны в документах как Барзенковы, а позже вернулись к исходной форме Барзенко, это говорит о сознательном сохранении украинского звучания.