Фамилия Барзинский звучит как типичная польская или западнорусская дворянская фамилия, и её разбор подтверждает это впечатление. Суффикс -ский указывает на принадлежность к местности: такую фамилию получал либо шляхтич, владевший поместьем, либо человек, переселившийся из села или города с названием Барзин, Барзино или Барза. Основа Барз- в этом случае — вариант корня Борз- (быстрый, резвый), который в старых польских и белорусских говорах дал формы «барзы» и «барзо» (очень, сильно). Таким образом, первым носителем фамилии мог быть выходец из места, которое назвали в честь быстрой речки или расторопного человека.

Однако есть и более прозаичная версия, связанная с ремеслом. В польском языке слово «barz» или «barzyna» означало болото, топь. Тогда Барзинский — это человек, живший на сырой, болотистой земле или рядом с болотом. Такие топонимические фамилии часто давали крестьянам, которых переселяли на новые места и записывали по названию урочища. В этом смысле фамилия могла возникнуть не в шляхетской среде, а среди простого люда, но суффикс -ский всё равно сохранял оттенок «принадлежности к местности», а не прямого прозвища.

Интересно, что в русских губерниях фамилия Барзинский встречается в двух основных ареалах: на западе (Смоленская, Могилёвская, Витебская губернии) и на юге (Курская, Харьковская). Это говорит о двух путях распространения: с польско-литовскими переселенцами и с украинскими казаками, которые нередко брали фамилии на -ский под влиянием польской традиции. В обоих случаях написание через «а» (а не «о») — верный признак западнославянского или южнорусского говора, где «ор» перешло в «ар» (барзой, а не борзой).

Спорных версий, по сути, нет: корень ясен, а разница лишь в том, относилось ли прозвище к характеру человека (быстрый) или к ландшафту (болото). Первая версия более распространена в ономастике, вторая — более приземлённая и бытовая. Выбор зависит от того, в какой среде жил конкретный предок: если он был шляхтичем или казаком, вероятнее прозвище по месту; если крестьянином — могло быть и по болоту, но тогда фамилия скорее всего оформилась позже, при переписях.