Фамилия Баутская — женская форма от Баутский, и её разумнее всего разбирать в мужском варианте, так как именно от него образуется женский. Это типичная фамилия польско-белорусского или западнорусского происхождения, образованная по модели с суффиксом -ский/-цкий. Такие фамилии в XVI–XIX веках давали в основном дворянам и шляхте, но позже их могли носить и выходцы из духовенства, и просто жители, получавшие фамилию по названию места.

Основа фамилии — топоним (название населённого пункта). Наиболее вероятный кандидат — село Бауты или Баута. Такие названия встречаются в исторических областях Польши и на западе современной Беларуси. Например, в Мазовии есть местность Bauty (сейчас это территория Польши), а также деревня Бауты в Гродненской области. Человек, переехавший из такого села, получал прозвище Баутский — «тот, кто из Баут». Женщина, соответственно, становилась Баутской.

Менее вероятная, но возможная версия — происхождение от личного имени или прозвища Баута. В польских и белорусских говорах «баута» могло означать нечто неуклюжее, мешковатое или относиться к человеку с медлительной походкой. Однако для фамилий на -ский топонимическое происхождение первично: такие фамилии почти всегда привязаны к географическому объекту, а не к характеристике.

Интересная деталь: в русских переписных книгах XVII века встречаются единичные упоминания крестьян с фамилией Баутов (от того же корня, но с другим суффиксом). Фамилия Баутский и её женская форма Баутская — более поздняя и «шляхетская» версия, распространённая в среде польской мелкой шляхты. Если ваши предки носили эту фамилию, с большой вероятностью они происходят из западнорусских или польских земель, возможно, имели шляхетские корни или были выходцами из униатского духовенства, которое часто брало фамилии по названиям деревень.